\chapter{电磁学}
\section{库仑定律 Coulomb's law }
1785年，法国工程师、物理学家查利·奥古斯丁·库仑(1736.06.14-1806.08.23)用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库仑定律。同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。

库仑定律为
\begin{equation}
\label{Coulombs_law }
\begin{cases}
\vec F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2 }\vec e_r\\
k =  \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 }
\end{cases}
\end{equation}

其中r为两个点电荷$Q_1,Q_2$之间的距离；$\vec e_r$为从$Q_1\mbox{到}Q_2$方向的矢径；k为库仑常数（静电力常量）。当各个物理量都采用国际制单位时，$k=9\cdot10^9Nm^2/C^2$。用该公式计算时，不要把电荷的正负符号代入公式中，计算过程可用绝对值计算，可根据同名电荷相斥，异名电荷相吸来判断力的方向。

库仑定律的微分形式：
\begin{equation}
\label{Coulombs_law2 }
\begin{cases}
\nabla \cdot D=\rho\\
D=\epsilon E
\end{cases}
\end{equation}

其中D为电位移矢量，E为电场强度，$\rho$为电荷密度，在真空中，$\epsilon=\epsilon_0=8.85\cdot10^{-12}C^2/(Nm^2)$为真空中的介电常数。该式描述为空间中某一点的电位移矢量的散度等于该处的电荷密度。微分形式的库仑定理也被称为电场的高斯定律，是麦克斯韦方程组的一部分。

库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律，是电磁学和电磁场理论的基本定律之一。

库仑定律不仅是电磁学的基本定律，也是物理学的基本定律之一。库仑定律阐明了带电体相互作用的规律，决定了静电场的性质，也为整个电磁学奠定了基础。库仑的工作对法国物理学家的影响还可以从稍后的拉普拉斯的物理学简略纲领得到证实。这个物理学简略纲领最基本的出发点是把一切物理现象都简化为粒子间吸引力和排斥力的现象，电或磁的运动是荷电粒子或荷磁粒子之间的吸引力和排斥力产生的效应。这种简化便于把分析数学的方法运用于物理学。 

\subsection{卡文迪许的同心球电荷分布实验}
卡文迪许的同心球电荷分布实验，比库仑的扭秤实验精确且早几十年，但是卡文迪许并没有发表自己的著作。直到1871年麦克斯韦主持剑桥大学的卡文迪许实验室后，卡文迪许的手稿才转到了麦克斯韦手中，麦克斯韦亲自动手重复了卡文迪许的许多实验，手稿经麦克斯韦整理后出版，他的工作才为世人所知。 

1769年，英国苏格兰人罗宾逊，设计了一个杠杆装置，他把实验结果用公式
表述出来，即电力F与距离r的n次方成反比。先假设指数n不是准确为2，而是2+$\delta$，得到指数偏差$\delta$=0.06。
\section{介电常数}
介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，介质中的电场减小与原外加电场（真空中）的比值即为相对介电常数(relative permittivity或dielectric constant)，又称诱电率，与频率相关。介电常数是相对介电常数与真空中绝对介电常数乘积。如果有高介电常数的材料放在电场中，电场的强度会在电介质内有可观的下降。理想导体的相对介电常数为无穷大。

根据物质的介电常数可以判别高分子材料的极性大小。通常，相对介电常数大于3.6的物质为极性物质；相对介电常数在2.8-3.6范围内的物质为弱极性物质；相对介电常数小于2.8为非极性物质。
\subsection{测量方法}

相对介电常数$\epsilon_r$可以在静电场用如下方式测量：首先在两块极板之间为真空的时候测试电容器的电容$C_0$。然后，用同样的电容极板间距离但在极板间加入电介质后测得电容$C_x$。然后可以用下式计算相对介电常数
\begin{equation}
\label{relative_permittivity}
\epsilon_r=C_x/C_0
\end{equation}

在标准大气压下，不含二氧化碳的干燥空气的相对电容率$\epsilon_r=1.00053$。因此，用这种电极构形在空气中的电容$C_a$来代替$C_0$来测量相对电容率$\epsilon_r$时，也有足够的准确度。（参考GB/T 1409-2006）

对于时变电磁场，物质的介电常数和频率相关，通常称为介电系数。
\subsection{常见溶剂的相对介电常数}
附常见溶剂的相对介电常数，条件为室温下，测试频率为1KHz。
温度升高，介电常数减小。

H2O （水） 78.5

HCOOH （甲酸） 58.5

HCON（CH3）2 （N,N-二甲基甲酰胺）36.7

CH3OH （甲醇） 32.7

C2H5OH （乙醇） 24.5

CH3COCH3 （丙酮） 20.7

n-C6H13OH （正己醇）13.3

CH3COOH （乙酸或醋酸） 6.15

C6H6 （苯） 2.28

CCl4 （四氯化碳） 2.24

n-C6H14 （正己烷）1.88

n-C4H10（四号溶剂） 1.78 [1] 
\section{电场强度E}

\subsection{定义}
电场强度(The electric field intensity)是放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量比值，定义式为

\begin{equation}
\label{electric_field_intensity}
\vec E=\vec F/q
\end{equation}

适用于一切电场；其中F为电场对试探电荷的作用力，q为试探点电荷（正电荷）的电荷量。定量的实验证明，在电场的同一点，电场力的大小与试探电荷的电荷量的比值是恒定的，跟试探电荷的电荷量无关。它只与产生电场的电荷及试探电荷在电场中的具体位置有关，即比值反映电场自身的特性（此处用了比值定义法），因此我们用这一比值来表示电场强度，简称场强，通常用E表示。试探点电荷应该满足两个条件：

（1）它的线度必须小到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质；

（2）它的电量要足够小，使得由于它的置入不引起原有电场的重新分布或对有源电场的影响可忽略不计。

电场强度的单位V/m(伏特/米)或N/C(牛顿/库仑)，这两个单位实际上相等。常用的单位还有V/cm(伏特/厘米)。
\subsection{方向}
电场中某点的场强方向规定为放在该点的正电荷受到的静电力方向。
对于真空中静止点电荷q所建立的电场，可以由库仑定律得出。
式中r是电荷q至观察点（或q'）的距离；r是由q指向该观察点的单位矢量，它标明了E的方向。
静电场或库仑电场是无旋场，可以引入标量电势φ，而电场强度矢量与电位标量间的关系为负梯度关系

$E=-\nabla\gamma\phi$

时变磁场产生的电场称为感应电场，是有旋场。引入矢量磁位A并选择适当规范，可得电场强度与矢量磁位间的关系为时间变化率的负数关系，即
感应电场与库仑电场的合成电场是有源有旋场。
\section{磁感应强度B}
\subsection{概述}
电流（运动电荷）的周围存在磁场，它对外的重要表现是：对引入场中的运动试探电荷、载流导体或永久磁铁有磁场力的作用，因此可用磁场对运动试探电荷的作用来描述磁场，并由此引入磁感应强度B作为定量描述磁场中各点特性的基本物理量，其地位与电场中的电场强度E相当。 

这个物理量之所以叫做磁感应强度，而没有叫做磁场强度，是由于历史上磁场强度一词已用来表示另外一个物理量了，区别：磁感应强度反映的是相互作用力，是两个参考点A与B之间的应力关系，而磁场强度是主体单方的量，不管B方有没有参与，这个量是不变的。
\subsection{定义}
电荷在电场中受到的电场力是一定的，方向与该点的电场方向相同或者相反。电流在磁场中某处所受的磁场力（安培力），与电流在磁场中放置的方向有关，当电流方向与磁场方向平行时，电流受的安培力最小，等于零；当电流方向与磁场方向垂直时，电流受的安培力最大。

点电荷q以速度v在磁场中运动时受到力f 的作用。在磁场给定的条件下，f的大小与电荷运动的方向有关 。当v 沿某个特殊方向或与之反向时，受力为零；当v与这个特殊方向垂直时受力最大，为Fm。Fm与|q|及v成正比，比值与运动电荷无关，反映磁场本身的性质，定义为磁感应强度的大小，即B的方向定义为：由正电荷所受最大力Fm的方向转向电荷运动方向 v 时 ，右手螺旋前进的方向 。定义了B之后，运动电荷在磁场 B 中所受的力可表为 F= qvB，此即洛伦兹力公式。

除利用洛伦兹力定义B外，也可以根据电流元Idl在磁场中所受安培力$df=Idl\times B$来定义B，或根据磁矩m在磁场中所受力矩$M=m\times B$来定义B，三种定义，方法雷同，完全等价。
\subsection{计算公式}
$B=F/IL=F/qv=E/v =\Phi/S$

F：洛伦兹力或者安培力；

q：电荷量；

v：速度；

E：电场强度；

$\Phi(=\Delta BS or B\Delta S)$：磁通量；

B：磁感应强度；

S：面积；

L：磁场中导体的长度。

定义式：F=ILB。

表达式：B=F/IL。
\section{欧姆定律}
\subsection{发展简史}
1825年5月乔治·西蒙·欧姆（Georg Simon Ohm，1789年3月16日-1854年7月6日，德国物理学家）在他的第一篇科学论文中发表有关伽伐尼电路中电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，但其中的公式是错误的。

1826年4月欧姆改正了这个错误，得出有名的欧姆定律。

1827年出版了他最著名的著作《伽伐尼电路的数学论述》，文中列出了公式，明确指出伽伐尼电路中电流的大小与总电压成正比，与电路的总电阻成反比，式中S为导体中的电流强度(I)，A为导体两端的电压(U)，L为导体的电阻(R)，可见，这就是今天的部分电路欧姆定律公式。

1876年，詹姆斯·麦克斯韦与同事，共同设计出几种测试欧姆定律的实验方法，能够特别凸显出导电体对于加热效应的响应。 
\subsection{发展历史}
1825年5月，欧姆发表他的第一篇科学论文，介绍了他第一阶段的实验，探讨电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系。在这个实验中，他碰到了测量电流强度的困难。在德国科学家施威格发明的检流计启发下，他把奥斯特关于电流磁效应的发现和库仑扭秤方法结合起来，设计了一个电流扭力秤，用它测量电流强度。欧姆从初步的实验中发现，电流的电磁力与导体的长度有关。其关系式与今天的欧姆定律表示式之间看不出有什么直接联系。欧姆在当时也没有把电势差（或电动势）、电流强度和电阻三个量联系起来。

在欧姆之前，虽然还没有电阻的概念，但是已经有人对金属的电导率（传导率）进行研究。1825年7月，欧姆也用上述初步实验中所用的装置，研究了金属的相对电导率。他把各种金属制成直径相同的导线进行测量，确定了金、银、锌、黄铜、铁等金属的相对电导率。虽然这个实验较为粗糙，而且有不少错误，但欧姆想到，在整条导线中电流不变的事实表明电流强度可以作为电路的一个重要基本量，他决定在下一次实验中把它当作一个主要观测量来研究。

在以前的实验中，欧姆使用的电池组是伏打电堆，这种电堆的电动势不稳定，使他大为头痛。后来经人建议，改用铋铜温差电偶作电源，从而保证了电源电动势的稳定。

1826年，欧姆用上面图中的实验装置导出了他的定律。在木质座架上装有电流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盘，s是观察用的放大镜，m和m'为水银杯，abb'a'为铋框架，铋、铜框架的一条腿相互接触，这样就组成了温差电偶。A、B是两个用来产生温差的锡容器。实验时把待研究的导体插在m和m'两个盛水银的杯子中，m和m'成了温差电池的两个极。

欧姆准备了截面相同但长度不同的导体，依次将各个导体接入电路进行实验，观测扭力拖拉磁针偏转角的大小，然后改变条件反复操作，根据实验数据归纳成以下关系：

x=a/(b+l),式中x表示流过导线的电流的大小，它与电流强度成正比，a和b为电路的两个参数，l表示实验导线的长度。

1826年4月欧姆发表论文，把欧姆定律改写为：X=KSA/L，s为导线的横截面积，K表示电导率，A为导线两端的电势差，L为导线的长度，X表示通过L的电流强度。如果用电阻l'=L/KS代入上式，就得到X=A/I'。这就是欧姆定律的定量表达式，即电路中的电流强度和电势差成正比而与电阻成反比。为了纪念欧姆对电磁学的贡献，物理学界将电阻的单位命名为欧姆，以符号$\Omega$表示。1欧姆定义为电位差为1伏特时恰好通过1安培电流的电阻。

\subsection{适用范围}
欧姆定律适用于纯电阻电路，金属导电和电解液导电，在气体导电和半导体元件等中欧姆定律将不适用。 
\subsection{定律的微观解释}
设有一段金属导体，横截面积为S，长为L，在导体的两端加上电压U，则导体中的场强E=U/L。这时，一自由电子在电场力F=eE的作用下做定向移动。设电子的质量为m,则定向移动的加速度为a=F/m=eE/m=U(e/mL)。

运动的自由电子要频繁地与金属正离子碰撞，使其定向移动受到破坏，限制了移动速率的增加。自由电子在碰撞后向各个方向弹射的机会相等，失去了之前定向移动的特性，又要从新开始做初速为0的定向加速运动。

自由电子相继两次碰撞的间隔有长有短，设平均时间为t，则自由电子在下次碰撞前的定向移动速率vt（以t为下标）=at，那么在时间t内的平均速率v=at/2。结合之前推出的a=U(e/mL)，得自由电子的平均移动速率为v=U(et/2mL)。

代入电流的微观表达式I=neSv，得I=U(ne2St/2mL)

对于一定的金属材料，在一定的温度下，t是个确定的数值（$10^{-14}-10^{-12}s$)，也就是说，对于一段金属导体，ne2St/2mL是个常量。

因此，导体中的电流强度I与两端的电压U成正比。导体两端的电压与导体中的电流强度的比值(2mL/ne2St)就是这段导体的电阻。由此看出，导体的电阻与长度成正比，与横截面积成反比，与$1/ne^2t$成正比。$1/ne^2t$由导体的特性决定。因此，在一定温度时，导体的电阻是R=$\rho$L/S。$\rho$是导体的电阻率。对于相同温度与材料的导体，电阻率相同。
\subsection{局限原因}
在通常温度或温度不太低的情况下，对于电子导电的导体（如金属），欧姆定律是一个很准确的定律。当温度低到某一温度时，金属导体可能从正常态进入超导态。处于超导态的导体电阻消失了，不加电压也可以有电流。对于这种情况，欧姆定律当然不再适用了。 

在通常温度或温度变化范围不太大时，像电解液（酸、碱、盐的水溶液）这样离子导电的导体，欧姆定律也适用。而对于气体电离条件下，所呈现的导电状态，和一些导电器件，如电子管、晶体管等，欧姆定律不成立。
\section{法拉第电磁感应定律}
法拉第的实验表明，不论用什么方法，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生。这种现象称为电磁感应现象，所产生的电流称为感应电流。

法拉第根据大量实验事实总结出了如下定律：

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通变化率成正比，若感应电动势用
$\epsilon$表示，则
\begin{equation}
\label{faradylaw}
\epsilon=\frac{\Delta\phi}{\Delta t}
\end{equation}
这就是法拉第电磁感应定律。

若闭合电路为一个n匝的线圈，则又可表示为：
\begin{equation}
\label{faradylaw2}
\epsilon=n\frac{\Delta\phi}{\Delta t}
\end{equation}

式中，n为线圈匝数，$\Delta\phi$为磁通量变化量，单位$W_b$韦伯，$\Delta t$为发生变化所用时间，单位为s，$\epsilon$为产生的感应电动势，单位为V。

导线作切割磁感线运动时感应电动势的大小计算公式：
\begin{equation}
\label{faradylaw3}
\epsilon=-BLv\sin\theta
\end{equation}

其中，B是磁感应强度,L是导体长度,v是切割磁感线运动的速度，$\theta$是v和B方向的夹角。

交流发电机最大的感应电动势计算公式：
\begin{equation}
\label{faradylaw4}
E_m=nBS\omega
\end{equation}

$E_m$是感应电动势峰值。

导体一端固定以$\omega$旋转切割的感应电动势计算公式：
\begin{equation}
\label{faradylaw5}
E=-BL^2\omega 
\end{equation}

其中$\omega$是角速度(rad/s)，v是速度(m/s)。

磁通量计算公式：
磁通量
\begin{equation}
\label{faradylaw6}
\phi=BS
\end{equation}

$\phi$是磁通量(Wb)，B是匀强磁场的磁感应强度(T)，S是正对磁场的面积(m2)。

方向判断：

感应电动势的正负极可利用感应电流方向判定，电源内部的电流方向：由负极流向正极。
\section{楞次定律}
楞次定律：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

楞次定律还可表述为：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

1834年，俄国物理学家海因里希·楞次（Heinrich Friedrich Lenz，1804-1865）在概括了大量实验事实的基础上，总结出一条判断感应电流方向的规律，称为楞次定律（Lenz law ）。简单的说就是“来拒去留”的规律，这就是楞次定律的主要内容。

楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现。

正如勒夏特列原理是化学领域的惯性定理，楞次定律正是电磁领域的惯性定理。勒夏特列原理、牛顿第一定律、楞次定律在本质上一样的，同属惯性定律，同样社会领域也存在惯性定理。
\section{麦克斯韦电磁场方程}
关于静电场和稳恒磁场的基本规律,可总结归纳成以下四条基本定理:

静电场的高斯定理:
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield1}
\oint_S\vec D^{(1)}\cdot d\vec S=\sum_iq_i
\end{equation}

静电场的环路定理:
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield2}
\oint_lE^{(1)}\cdot dl=0
\end{equation}

稳恒磁场的高斯定理:
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield3}
\oint_S\vec B^{(1)}\cdot d\vec S=0
\end{equation}

磁场的安培环路定理:
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield4}
\oint_l\vec H^{(1)}\cdot d\vec l=\sum_il_i
\end{equation}
上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律,对变化电场和变化磁场并不适用。

麦克斯韦在稳恒场理论的基础上,提出了涡旋电场和位移电流的概念:
\subsection{涡旋电场}
麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变化的磁场可以在空间激发电场,并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,即
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield5}
\oint_l\vec E^{(2)}\cdot d\vec l=-\int_S\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec S
\end{equation}
上式表明,任何随时间而变化的磁场,都是和涡旋电场联系在一起的。
\subsection{位移电流}
麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变化的电场可以在空间激发磁场,并通过全电流概念的引入,得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式,即
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield6}
\oint_l\vec H^{(2)}\cdot d\vec l=\int_S\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot d\vec S
\end{equation}

上式表明,任何随时间而变化的电场,都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知,变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的,它们永远密切地联系在一起,相互激发,组成一个统一的电磁场的整体。

这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。

在麦克斯韦电磁场理论中,自由电荷可激发电场$\vec E^{(1)}$,变化磁场也可激发电场$\vec E^{(2)}$,则在一般情况下,空间任一点的电场强度应该表示为

$\vec E=\vec E^{(1)}+\vec E^{(2)}$

又由于,稳恒电流可激发磁场 $\vec B^{(1)}$,变化电场也可激发磁场$\vec B^{(2)}$,则一般情况下,空间任一点的磁感强度应该表示为
$\vec B=\vec B^{(1)}+\vec B^{(2)}$

因此,在一般情况下,电磁场的基本规律中,应该既包含稳恒电、磁场的规律,如方程组(1),也包含变化电磁场的规律,根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念,变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场,而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此,电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是:
\subsection{电场的高斯定理} 
在没有自由电荷的空间,由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零,故有:
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield7}
\oint_S\vec D^{(2)}\cdot d\vec S=0
\end{equation}
\subsection{电场的环路定理} 
由本节公式(2)已知,涡旋电场是非保守场,满足的环路定理是式 \ref{Electromagneticfield5} 。
\subsection{磁场的高斯定理} 
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield8}
\oint_S\vec B^{(2)}\cdot d\vec S=0
\end{equation}
变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线。因此,磁场的高斯定理仍适用,即
\subsection{磁场的安培环路定理} 
由本节公式(3)已知,变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为式 \ref{Electromagneticfield6} 。

在变化电磁场的上述规律中,电场和磁场成为不可分割的一个整体。

将两种电、磁场的规律合并在一起,就得到电磁场的基本规律,称之为麦克斯韦方程组,表示如下
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield9}
\begin{cases}
\oint_{\vec S}\vec D\cdot d\vec S=\sum_iq_i\\
\oint_{\vec S}\vec B\cdot d\vec S=0\\
\oint_l\vec H\cdot d\vec l=\sum_iI_{ci}+\int_{\vec S}\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot d\vec S\\
\oint_l\vec E\cdot d\vec l=-\int_{\vec S}\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec S	
\end{cases}
\end{equation}
上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。

将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield10}
\begin{cases}
\nabla \cdot \vec D =\rho\\
\nabla \cdot \vec B=0\\
\nabla \times \vec H=\vec j+\frac{\partial \vec D}{\partial t}\\
\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}
\end{cases}
\end{equation}
上面四个方程可逐一说明如下:

在电磁场中任一点处

(1)电位移的散度$\nabla \cdot \vec D$等于该点处自由电荷的体密度 ;

(2)电场强度的旋度$\nabla \times \vec E$等于该点处磁感强度变化率$\frac{\partial \vec B}{\partial t}$的负值；

(3)磁场强度的旋度$\nabla \times \vec H$等于该点处传导电流密度 $\vec j$与位移电流
密度$\frac{\partial \vec D}{\partial t}$的矢量和;

(4)磁感强度的散度$\nabla \cdot \vec B$处处等于零。

麦克斯韦方程是宏观电磁场理论的基本方程,在具体应用这些方程时,还要考虑到介质特性对电磁场的影响,即
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield11}
\begin{cases}
\vec D =\epsilon \vec E\\
\vec B=\mu \vec H
\end{cases}
\end{equation}
以及欧姆定律的微分形式
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield12}
\vec j =\sigma \vec E
\end{equation}

方程组的微分形式,通常称为麦克斯韦方程。

在麦克斯韦方程组中,电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律,并预言了电磁波的存在。
\section{推导电磁场波动方程}
在自由空间中，$\rho=0,\vec j=0$，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律将取决于无源情况下的Maxwell's equatios麦克斯韦方程组
\begin{align}
\nabla \cdot \vec D &=0 \label{Electromagneticfield13}\\
\nabla \times \vec E&=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\label{Electromagneticfield14}\\
\nabla \cdot \vec B&=0 \label{Electromagneticfield15}\\
\nabla \times \vec H&=\frac{\partial\vec D}{\partial t}\label{Electromagneticfield16}
\end{align}

对式 \ref{Electromagneticfield14}两边取旋度，并将式 \ref{Electromagneticfield16} 代入，

\begin{align}
\nabla \times (\nabla \times \vec E)&=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times\vec B\label{Electromagneticfield17}\\
\nabla  (\nabla \cdot \vec E)-\nabla^2 \vec E&=-\frac{\partial }{\partial t}(\mu\nabla \times\vec H)\label{Electromagneticfield18}\\
-\nabla^2 \vec E&=-\mu\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}\vec D)\label{Electromagneticfield19}\\
\nabla^2 \vec E&=\mu\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}\epsilon\vec E)\label{Electromagneticfield20}\\
\nabla^2 \vec E&=\mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\label{Electromagneticfield21}
\end{align}

同样，对式 \ref{Electromagneticfield16}两边取旋度，并将式 \ref{Electromagneticfield14} 代入，即可得到
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield22}
\nabla^2 \vec B=\mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}
\end{equation}

令
\begin{equation}
\label{Electromagneticfield23}
c^2=\frac{1}{\mu\epsilon}
\end{equation}
得到
\begin{align}
\nabla^2 \vec E&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\label{Electromagneticfield24}\\
\nabla^2 \vec B&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}\label{Electromagneticfield25}
\end{align}
这就是著名的电磁场波动方程。其中c是电磁波速度，等于光速。
\section{洛伦兹力}
\subsection{定义}
洛伦兹力F=QvB是运动电荷在磁场中所受的力。它是荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹（英文名：Hendrik Antoon Lorentz,1853.07.18-1928.02.04）于1895年建立经典电子论时,作为基本假定而提出的,后被大量实验结果所证实,因此得名。
\subsection{发现}
从阴极发射出来的电子束，在阴极和阳极间的高电压作用下，轰击到长条形的荧光屏上激发出荧光，可以在示波器上显示出电子束运动的径迹．实验表明，在没有外磁场时，电子束是沿直线前进的．如果把射线管放在蹄形磁铁的两极间，荧光屏上显示的电子束运动的径迹就发生了弯曲．这表明，运动电荷确实受到了磁场的作用力，这个力通常叫做洛伦兹力，它为荷兰物理学家H.A.洛伦兹首先提出，故得名。

认为一切物质分子都含有电子，阴极射线的粒子就是电子。洛伦兹把以太与物质的相互作用归结为以太与电子的相互作用。这一理论成功地解释了塞曼效应，与塞曼一起获1902年诺贝尔物理学奖。

洛伦兹是经典电子论的创立者．他认为电具有“原子性”，电的本身是由微小的实体组成的．后来这些微小实体被称为电子．洛伦兹以电子概念为基础来解释物质的电性质．从电子论推导出运动电荷在磁场中要受到力的作用，即洛伦兹力．他把物体的发光解释为原子内部电子的振动产生的．这样当光源放在磁场中时，光源的原子内电子的振动将发生改变，使电子的振动频率增大或减小，导致光谱线的增宽或分裂．1896年10月，洛伦兹的学生塞曼发现，在强磁场中钠光谱的D线有明显的增宽，即产生塞曼效应，证实了洛伦兹的预言．塞曼和洛伦兹共同获得1902年诺贝尔物理学奖．

1904年，洛伦兹证明，当把麦克斯韦电磁场方程组用伽利略变换从一个参考系变换到另一个参考系时，真空中的光速将不是一个不变的量，从而导致对不同惯性参考系的观察者来说，麦克斯韦方程及各种电磁效应可能是不同的．为了解决这个问题，洛伦兹提出了另一种变换公式，即洛伦兹变换。后来，爱因斯坦把洛伦兹变换用于力学关系式，创立了狭义相对论．
\subsection{性质}
1.在国际单位制中，洛仑兹力的单位是牛顿，符号是N。

2.洛伦兹力方向总与运动方向垂直。

3.洛伦兹力永远不做功。（有束缚时，洛仑兹力的分力可以做功，但其总功一定为0。）

4.洛伦兹力不改变运动电荷的速率和动能，只能改变电荷的运动方向使之偏转。

（鉴于网上有关于4的提问，于是在此证明：因为洛伦兹力总与运动方向垂直，因此洛伦兹力的做功是0，根据动能定理有：$0=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
,所以$v_o=v_t$，因为速度与力不共线，因此会做曲线运动）

\subsection{详解}
在电动力学里，洛伦兹力（Lorentz force）是运动于电磁场的带电粒子所受的力。根据洛伦兹力定律，洛伦兹力可以用方程，称为洛伦兹力方程，表达为
\begin{equation}
\label{lorentzforce}
\vec F=q(\vec E+\vec v\times \vec B)
\end{equation}
其中， F是洛伦兹力， q是带电粒子的电荷量，E是电场强度，v是带电粒子的速度， B是磁感应强度。

洛伦兹力定律是一个基本公理，不是从别的理论推导出来的定律，而是由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。

感受到电场的作用，正电荷会朝着电场的方向加速；但是感受到磁场的作用，按照左手定则，正电荷会朝着垂直于速度V和磁场B的方向弯曲（详细地说，应用左手定则，当四指指电流方向，磁感线穿过手心时，大拇指方向为洛伦兹力方向）。

洛伦兹力方程的qE项是电场力项，$q\vec v\times B$项是磁场力项。处于磁场内的载电导线感受到的磁场力就是这洛伦兹力的磁场力分量。

洛伦兹力方程的积分形式为
\begin{equation}
\label{lorentzforce2}
\vec F=\int_Vq(\rho\vec E+\vec J\times \vec B)dr
\end{equation}
其中，V是积分的体积，$\rho$是电荷密度，J是电流密度，dr是微小体元素。

经常使用的公式还有洛伦兹力密度f的表达式
\begin{equation}
\label{lorentzforce3}
\vec f=\rho\vec E+\rho\vec v\times \vec B=\rho\vec E+\vec J\times \vec B
\end{equation}

若带电粒子射入匀强磁场内，它的速度与磁场间夹角为$0<\theta<\pi/2$这个粒子将作等距螺旋线运动（沿B方向的匀速直线运动和垂直于B的匀速圆周运动的和运动）。螺旋半径，周期和螺距为
\begin{equation}
\label{lorentzforce4}
\begin{cases}
R=\frac{mv\sin\theta}{Bq}\\
T=\frac{2\pi m}{Bq}\\
h=\frac{2\pi mv\cos\theta}{Bq}
\end{cases}
\end{equation}
1895年荷兰物理学家H.A.洛伦兹建立经典电子论时，作为基本假设提出来的，现已为大量实验证实。洛伦兹力的公式为F=qvB。适用条件：磁场是匀强磁场，v与B方向垂直。式中q、v分别是点电荷的电量和速度，B是点电荷所在处的磁感应强度。v与B方向不垂直时，洛伦兹力的大小是f=|q|vBsin$\theta$，其中$\theta$是v和B的夹角。洛伦兹力的方向循左手定则（左手平展，使大拇指与其余四指垂直，并且都跟手掌在一个平面内；把左手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心（手心对准 N极，手背对准S极，四指指向电流方向（即正电荷运动的方向v），则拇指的方向就是导体或正电荷受力方向）垂直于v和B构成的平面（若q为负电荷，则反向）。由于洛伦兹力始终垂直于电荷的速度方向和磁场方向确定的平面，所以它对电荷不作功，不改变运动电荷的速率和动能，只能改变电荷的运动方向使之偏转。 

洛伦兹力既适用于宏观电荷，也适用于微观电荷粒子。电流元在磁场中所受安培力就是其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。导体回路在恒定磁场中运动，使其中磁通量变化而产生的动生电动势也是洛伦兹力的结果，洛伦兹力是产生动生电动势的非静电力。

如果电场E和磁场B并存，则运动点电荷受力为电场力和磁场力之和，为
。
【注】公式中E、B为矢量，右式一般也称为洛伦兹力公式。
洛伦兹力公式和麦克斯韦方程组以及介质方程一起构成了经典电动力学的基础。在许多科学仪器和工业设备，例如$\beta$谱仪，质谱仪，粒子加速器，电子显微镜，磁镜装置，霍尔器件中，洛伦兹力都有广泛应用。
值得指出的是，既然安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力对运动电荷不作功，何以安培力能对载流导线作功呢？实际上洛伦兹力起了传递能量的作用，当导线运动的时候，洛伦兹力的一部分指向电荷运动的反方向，阻碍电荷运动作负功，形成动生电动势；另一部分构成安培力，对载流导线作正功，结果仍是由平衡动生电动势，维持电流的电源提供了能量。
安培力是洛伦兹力的宏观表现，故从安培力大小公式，可以反推得洛伦兹力公式。
1、从宏观到微观
安培力
电流
代入上式
2、从微观到宏观
即F（安培力）=Nf (f是洛伦兹力）
3、其它推导
\subsection{判断方向}

将左手掌摊平，让磁感线穿过手掌心，四指表示正电荷运动方向，则和四指垂直的大拇指所指方向即为洛伦兹力的方向。但须注意，运动电荷是正的，大拇指的指向即为洛伦兹力的方向。反之，如果运动电荷是负的，仍用四指表示电荷运动方向，那么大拇指的指向的反方向为洛伦兹力方向。
另一种对负电荷应用左手定则的方法是认为负电荷相当于反向运动的正电荷，用四指表示负电荷运动的反方向，那么大拇指的指向就是洛伦兹力方向。
